$x=5,y=2$ is a solution of the linear equation

$\text{Step 1: Check which of the equation passes through (5,2).}$

  

                 $\text{The solution should satisfy the appropriate equation.}$
                 $\text{So, let us investigate each option by substituting }x=5$ & $y=2$

                 $(A)$      $x+2y=7$.

                 $\text{L.H.S. }=5+2\times 2=9\ne$ $\text{R.H.S.}$
                 $\therefore$ $\text{It is not the appropriate equation.}$

                 $(B)$      $5x+2y=7$
                 $\text{L.H.S. }=5\times 5+2\times 2=29\ne$ $\text{R.H.S.}$
                 $\therefore$ $\text{It is not the appropriate equation.}$

                 $(C)$     $x+y=7$ 

                 $\text{L.H.S. }=5+2=7=$ $\text{R.H.S}$
                 $\therefore$ $\text{It is the appropriate equation.}$

                 $(D)$     $5x+y=7$ 

                 $\text{L.H.S. }=5\times 5+2=27\ne$ $\text{R.H.S.}$
                 $\therefore$ $\text{It is not the appropriate equation.}$

$\text{Hence, option C is correct.}$